Е. В. Бурлаченко
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ
Настоящие заметки
посвящены изучению алгебры формальных степенных рядов. Формальный степенной ряд
отождествляется с вектором в бесконечномерном пространстве. Оказывается, что
представление векторов в виде степенных рядов находит отклик со стороны
структуры векторного пространства. Базисы, образованные степенными рядами, в
бесконечномерном пространстве играют такую же конструктивную роль, какую
ортогональные базисы играют в конечномерном пространстве. Алгебра формальных
степенных рядов как бы погружается в свою естественную среду обитания.
Освободившись от смысловых нагрузок, связанных с комбинаторикой и другими
математическими дисциплинами, она демонстрирует свойства, присущие ей как
организатору структуры бесконечномерного векторного пространства. Одним из
организующих начал является аналогичная вращению операция, знакомая нам по
разложению функции в ряд Лагранжа и образующая неразрывное единство с
операциями логарифмирования и возведения в степень. Благодаря пониманию этого
единства, факты, казавшиеся ранее разрозненными, начинают складываться в общую
схему.
Введение
Будем рассматривать
формальный степенной ряд с действительными коэффициентами как
последовательность этих коэффициентов, т.е. как элемент векторного
пространства. Обозначим:
Базис
пространства, в котором координаты каждой последовательности (т.е. коэффициенты
разложения по базисным векторам) совпадают с ее значениями, назовем основным.
Каждой матрице поставим в
соответствие преобразование, отоброжающее последовательность векторов основного
базиса на последовательность столбцов матрицы
. Матрицу и соответствующее ей преобразование будем
обозначать одним и тем же символом. Столбцы и строки матрицы пронумеруем целыми
неотрицательными числами. Транспонированную к
матрицу обозначим
. Образ вектора
при
преобразовании
обозначим
.
Целые
неотрицательные числа будем обозначать буквами ,
,
,
, целые числа – буквами
,
, действительные числа
– буквами
,
,
.
Произведением назовем вектор
, где
,
или, что то же самое, –
вектор , где
.
Матрицу
вида (
-й член
-го столбца матрицы равен
и нулю при
) назовем матрицей умножения на вектор
.
Обратным
к назовем вектор
, определяемый уравнением
.
Вектор
назовем -й степенью
.
-й вектор основного базиса представим как
-ю степень
. Каждый вектор запишется в виде
.
Матрицу,
-й столбец которой является
-й степенью
, назовем матрицей
степеней вектора
и обозначим
. Матрица степеней отображает произведение векторов на
произведение их образов:
,
так что
,
.
Если рассматривать и
как функции
и
, то выражению
соответствует
подстановка
.
Обозначим:
.
Убедимся, что векторы данного вида умножаются по
правилу
.
Так как
,
то
.
Обозначим:
,
так что
.
Пусть – элемент
матрицы
, где
– номер строки,
– номер столбца. Тогда
,
где – комплексные числа.
Так как все члены вектора
, начиная с
-го, равны нулю, то
. Таким образом,
.
Вектор
,
,
назовем -й степенью
. Так как
,
то
.
Пусть
.
Так как
,
,
то
.
Получаем правило: если
,
то
.
Среди матриц степеней особое место занимает матрица
: транспонированную к ней матрицу можно рассматривать
одновременно как произведение матрицы степеней и матрицы умножения и как
трансформацию матрицы умножения:
,
,
где – диагональная
матрица, диагональные элементы которой равны значениям вектора
:
.
Например,
.
Первый
столбец матрицы обозначим
. Вектор
,
, назовем логарифмом вектора
и обозначим
; вектор
, где
произвольно, назовем
экспонентой вектора
и обозначим
. Так как
,
то
.
Так как
,
то
.
Так как
,
то
.
Пусть и
– преобразования,
соответствующие дифференцированию и интегрированию в алгебре формальных
степенных рядов:
,
.
Обозначим:
,
.
Убедимся, что
,
или
.
Следовательно,
,
,
или
.
Так как
,
то
,
.
Отсюда находим:
.
Таблицу, -й строкой которой является вектор
, обозначим
. Рассмотрим таблицу
, например, при
:
Каждую
строку таблицы заменим восходящей
диагональю, имеющей со строкой общий нулевой член. Полученную таблицу обозначим
. С таблицей
проделаем ту же
операцию, результат обозначим
. С таблицей
проделаем ту же
операцию, и т.д. Например:
Каждую
строку таблицы заменим нисходящей
диагональю, имеющей со строкой общий нулевой член. Полученную таблицу обозначим
. С таблицей
проделаем ту же
операцию, и т.д. Например:
Найдем
преобразование , отображающее каждую строку таблицы
на одноименную строку
таблицы
.
Пусть и
– формальные степенные
ряды,
,
, где
– коэффициенты
ряда
.
раскладывается в ряд
Лагранжа по правилам [1, с.147]:
,
.
Если – нулевая строка
таблицы
, то выражения
и
означают
соответственно
-й член нулевой восходящей диагонали и
-й член нулевой нисходящей диагонали таблицы
. Пусть
.
-ю восходящую и
-ю нисходящую диагонали таблицы
обозначим
соответственно
и
. Так как
,
,
то
,
.
Отсюда видно, что
,
,
где и
– определенные
векторы,
,
.
Следовательно,
,
.
Вернемся к прежним
обозначениям:
.
Мы выяснили, что
,
,
,
.
Нулевая строка
таблицы совпадает с нулевой
строкой таблицы
, нулевая строка таблицы
совпадает с нулевой строкой
таблицы
. Следовательно,
,
,
где означает
-ю степень
,
,
Таким образом, является решением
уравнения
.
Так как
то
Обозначим: . Тогда
.
Решая уравнение
,
находим:
.
Таким же образом находим и
:
,
,
.
,
,
.
Обозначим: . Тогда
,
,
.
Применительно к : так как
,
то
.
Пусть
.
Так как
,
,
то
.
Например,
,
,
.
-ю строку матрицы
обозначим . Так как
,
то
.
В [2] показано, что если
,
,
где – корни полинома
, то
-я строка матрицы
имеет вид
.
Например, если , то
,
.
1. Теория биномиальных последовательностей
1.1
В математической литературе последовательности строк
матриц
,
называются соответственно аппелевой и биномиальной последовательностями.
Оператор
называется оператором сдвига на (или просто оператором
сдвига, если
) и обозначается
. Операторы
,
где
– тождественный
оператор, и
называются соответственно разностным оператором и оператором
центральных разностей. Оператор
называется оператором дифференцирования и обозначается
.
Отсюда видно, что изучение биномиальных
последовательностей сводится к изучению свойств матриц ,
и применению к
полученным результатам операций трансформирования и транспонирования по правилу
умножения транспонированных матриц: если
, то
.
Основные свойства матриц и
:
,
,
,
где
левая формула имеет смысл всегда, правая – при
,
,
,
,
,
,
,
,
,
где
,
,
.
Классическое определение [3, стр.124]:
последовательность полиномов называется
биномиальной, если
,
,
что
в наших обозначениях соответствует равенству
.
Наше определение биномиальной последовательности
совпадает с другим традиционным определением: последовательность полиномов называется
биномиальной, если
для некоторого формального степенного ряда .
Оператор , удовлетворяющий условиям
,
,
,
называется базисным оператором последовательности
полиномов , которая, в свою очередь, называется базисной
последовательностью оператора
.
Пусть
.
Так
как
,
то – базисный оператор последовательности строк матрицы
. Например
– базисный оператор
последовательности полиномов
,
– базисный оператор
последовательности строк матрицы
, т.е. последовательности полиномов
.
По определению преобразование является оператором,
перестановочным со сдвигами. Так как
,
то
.
Так
как
,
то элементы матрицы
равны произведению одноименных элементов матриц
и
:
,
где
.
Обозначим . Пусть
.
Тогда
,
где
.
Таким
образом,
,
где – базисный оператор
последовательности строк матрицы
. Это тривиальное утверждение в теории биномиальных
последовательностей считается одним из основных результатов, что демонстрирует
преимущество наших обозначений по сравнению с традиционными. В классической
теории много энергии уходит на доказательство того, что заложено в наших
обозначениях.
Обозначим . Так как
,
то
.
Из равенства
вытекает,
что если
,
то
.
Следовательно,
,
что
равнозначно формуле Родригеса
,
,
где –
-я строка матрицы
,
.
Если
– формальный степенной
ряд, то по правилу разложения в ряд Лагранжа
,
где выражение означает
-й коэффициент ряда
. В наших обозначениях:
,
где
. Так как
,
то
,
,
где
,
.
Так как -й член вектора
равен
-му члену вектора
, то
-я строка матрицы
совпадает с
-й строкой матрицы
.
Таким образом, равенство
равнозначно
формуле Стеффенсена
,
,
где –
-я строка матрицы
,
–
-я строка матрицы
.
1.2
Рассмотрим два класса биномиальных
последовательностей, связанных с векторами
и
.
Обозначим ,
.
-ю строку матрицы
обозначим
. Тогда
,
,
,
.
Например,
,
,
,
.
Так
как
,
,
,
то
.
Так
как
,
,
то
.
Так как -й столбец матрицы
, элементами которой являются числа Стирлинга второго рода,
имеет вид
,
-й столбец матрицы
имеет вид
,
-й столбец матрицы
имеет вид
, то
-й столбец матрицы
имеет
вид
Например,
-й столбец матрицы
имеет
вид
,
так
что четные и нечетные столбцы имеют вид
,
.
Обозначим ,
.
-ю строку матрицы
обозначим
. Тогда
,
,
,
.
Так как
,
то
,
.
Так как элементы матрицы равны произведению
одноименных элементов матриц
,
и
, то
-й столбец матрицы имеет вид
.
Полиномы
называются полиномами
Абеля, базисный оператор
называется оператором
Абеля.
1.3
Введем в рассмотрение векторы нового вида.
Обозначим
,
,
,
,
так
что
,
,
,
,
.
Так как
,
то
,
.
Так как
,
то
.
Так как
,
то
.
Таким образом, получаем равенство
.
Покажем, что преобразование, собственным
вектором которого является ,
,
, с собственным значением
, является трансформацией оператора
. Так как
,
то
.
Следовательно,
,
.
Пусть – полином степени
, т.е. вектор, все члены которого, начиная с
-го номера, равны нулю. Тогда
является собственным
вектором преобразования
с собственным значением .
Так как
,
,
то
,
,
или
,
.
Отметим также равенство
.
1.4
Выявим одну интересную особенность строк
матрицы .
Представим таблицу, строки которой
образуются последовательным умножение различных векторов:
,
,
,
, …
Алгоритм операции умножения приводит к тому, что
множеству слагаемых в разложении -го члена
-й строки таблицы соответствует множество размещений
неразличимых предметов
по
различным ячейкам:
различным векторам соответствуют различные ячейки, номеру члена соответствует
число предметов в ячейке.
Если … , таблица принимает вид
Множеству слагаемых в разложении -го члена
-й строки таблицы соответствует множество размещений
неразличимых предметов
по
неразличимым ячейкам:
выражение
означает, что в
соответствующем слагаемому размещении
ячеек содержат
одинаковое число предметов, равное
. Коэффициент при
равен
.
Множество размещений неразличимых предметов
по
неразличимым ячейкам можно разбить на подмножества размещений
с одинаковым числом пустых ячеек, равным
. Каждому такому подмножеству соответствует множество разбиений
числа
на
слагаемых. При
число подмножеств
равно
, при
число подмножеств
равно
.
Таким образом, -й столбец таблицы можно представить в виде
,
где
,
,
и суммирование ведется по всем разбиениям числа на
слагаемых. Коэффициент при
в
-й строке таблицы равен вынесенному за знак суммы произведению
величины
с ее долей
комбинаторного коэффициента, т.е.
.
Матрицу, -й строкой которой является полином
,
,
обозначим
. Тогда, как видно из таблицы,
,
и,
следовательно,
.
Отсюда, при , получаем выражение значений
через значения
:
-й член
равен
.
1.5
Найдем преобразование, отображающее -ю строку матрицы
на
-ю строку матрицы
.
Рассмотрим равенства
,
,
где ,
.Так как
-я строка матрицы
,
, – вектор
,
-я строка матрицы
,
, – вектор
, то
-я строка матрицы
имеет вид
, где
– полином степени
,
-я строка матрицы
имеет вид
, где
– полином степени
.
Матрицу, которая получается из единичной
матрицы размерности перестоновкой столбцов
в обратном порядке, обозначим
. Например,
.
-ю строку матрицы
обозначим
. Обозначим также
, где
– произвольный вектор.
Тогда, как показано в [2],
,
,
так что
.
Например,
если , то
,
.
-ю строку матрицы
обозначим
. Тогда
,
,
.
Найдем корни полинома в разложении
при
,
,
.
Так
как, соответственно
,
,
,
то
,
,
.
Обобщая,
выводим
,
.
Матрицу, -м столбцом которой является полином
,
,
обозначим
. Например
,
,
.
По определению преобразования , если
,
то
.
Таким
образом, если –
-я строка матрицы
,
–
-я строка матрицы
, то
.
Так как
,
, то
.
Если , то
,
, где
– полином Эйлера [4,
стр.253], [5, стр.139]:
,
,
,
, …
Так как
,
то
,
.
Таким
образом, -м столбцом матрицы
является полином
:
,
,
.
Итак, если –
-я строка матрицы
,
,
,
–
-я строка матрицы
, то
,
.
2. Обобщенные биномиальные коэффициенты
Рассмотрим известное обобщение
биномиальных коэффициентов [6, с.106].
Для последовательности ,
,
при
, обозначим:
,
,
;
,
.
Тогда
.
Диагональную матрицу, диагональные
элементы которой равны значениям вектора , обозначим
:
.
Вектор,
-й член которого является обратной величиной
-го члена вектора
,
, обозначим
:
,
.
Рассмотрим
трансформацию
.
Первый столбец матрицы обозначим . Элемент матрицы, стоящий на пересечении
-й строки и
-го столбца обозначим
. Если
, то
,
.
Если – произвольная матрица
умножения, то элементы матрицы
равны произведению
одноименных элементов матриц
и
.
Особый интерес представляет случай
,
,
который
при принимает вид
.
Обозначим
,
,
,
,
,
.
Элементы
матрицы равны коэффициентам Гаусса:
.
Пусть ,
– соседние столбцы
бесконечной матрицы. Если
,
,
то
,
.
Следовательно,
-й столбец матрицы
имеет вид
.
В [6] показано, что если последовательность столбцов
матрицы имеет вид
,
где – произвольная последовательность чисел, то
последовательность строк обратной матрицы имеет вид
.
Например, при получаем матрицы
и
; при
получаем матрицы
и
; при
получаем матрицы
и
; при
получаем матрицы
и
.
Таким образом, -я строка матрицы
имеет вид
.
Гаусс показал, что
.
Следовательно,
,
где
,
,
.
Обозначим
.
Первый столбец матрицы обозначим
, элемент, стоящий на пересечении
-й строки и
-го столбца обозначим
. Тогда
,
.
Таким образом,
.
Представим как функцию от
и
. Тогда
.
(Продолжение
следует)
1.
Риордан Д. Комбинаторные тождества. М.: Наука, 1982.
2. Бурлаченко Е. В. Биномиальная форма записи
степенного ряда.
3.
Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982.
4.
Риордан Д. Введение в комбинаторный анализ. М.: ИЛ, 1963.
5. Сачков В. Н. Комбинаторные методы дискретной
математики. М.: Наука, 1977.
6. Платонов М. Л. Комбинаторные числа класса
отображений и их приложения. М.: Наука, 1979.