Е. В. Бурлаченко
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ
(Продолжение; начало см. в [1])
5. Обобщенные
полиномы Чебышева
5.1
Обозначим:
,
; при
,
.
Тогда
,
,
.
Обозначим:
,
; при
,
.
Тогда
,
,
.
Пусть ,
. Составим фрагменты таблиц
и
, например, при
:
.
Для верхней половины таблицы справедливо
равенство
,
. Учитывая, что
, выводим:
,
где – полином степени
(т.е. вектор, все
члены которого, начиная с номера
, равны нулю),
.
Матрицу, которая получается из
единичной матрицы размерности перестановкой
столбцов в обратном порядке, обозначим
. Например
;
.
По определению преобразования
-я строка матрицы
совпадает с -й строкой матрицы
. Таким образом, полином
,
, совпадает с
-й строкой матрицы
.
Например,
.
Так
как
,
,
то
,
где ,
, –
-я строка матрицы
.
Из таблицы
, например,
:
,
где
,
видно,
что
,
или
,
где – полином степени
;
совпадает с
-й строкой матрицы
,
например,
,
так
что
,
где
–
-я строка матрицы
.
Таким образом,
,
;
Пусть ,
. Составим фрагменты таблиц
и
, например, при
:
Очевидно, что если – полином степени
, то
.
Поэтому,
если
,
как
в случае с полиномом , то
.
Таким образом, для верхней половины
таблицы справедливо равенство
,
.
Следовательно,
,
где ,
,
, совпадает с
-й строкой матрицы
,
,
где ,
, –
-я строка матрицы
.
Из таблицы , например,
:
где
,
видно,
что
,
или
,
где
совпадает с
-й строкой матрицы
,
,
где –
-я строка матрицы
.
Таким образом,
,
.
Перейдем к общему случаю. Пусть ,
. Тогда
,
,
,
.
Пусть теперь ,
– любые действительные
числа.
-ю строку матрицы
,
, обозначим
;
-ю строку матрицы
обозначим
. Тогда
,
,
где ,
–
-я строка матрицы
,
–
-я строка матрицы
,
,
.
Отметим,
что
,
,
,
,
,
.
Отметим также равенство, которое проверяется с помощью
подстановки,
.
5.2
Полиномы Чебышева определяются следующим образом:
,
,
,
;
,
,
,
.
Рассмотрим метод, позволяющий выражать
корни некоторых полиномов, к которым относятся и полиномы Чебышева, через корни
полиномов деления круга.
Обозначим:
,
,
.
Тогда:
,
,
.
Запомним правила преобразования корней
полиномов при следующих элементарных преобразованиях. Если
,
,
то:
,
,
,
.
Следовательно,
,
,
где
,
.
Так
как
,
то
,
.
Аналогично,
.
Найдем корни полиномов
и
,
где
.
Обозначим:
.
Так
как
,
то
.
Из
таблицы
:
видно,
что совпадает с
-й строкой матрицы
.
Так
как
,
,
то
,
где – целая часть от
,
,
. Степень полинома
обусловлена тем, что
, если
нечетно и
. Обозначим:
.
Тогда
,
,
.
Таким образом,
,
,
,
.
Найдем корни полиномов
и
.
Обозначим:
.
Из
таблицы
:
видно,
что
,
где совпадает с
-й строкой матрицы
.
Так
как
,
то
,
где
,
,
.
Степень обусловлена тем, что
, если
четно и
. Обозначим:
.
Тогда
,
.
Таким образом,
,
,
,
.
В общем случае:
,
,
,
где
.
Если один из сомножителей множителя равен нулю , он вместе
с соответствующим ему полиномом
заменяется на
.
Аналогично,
,
,
,
где
.
5.3
Обозначим:
,
; при
,
.
Тогда
,
,
.
Обозначим:
,
; при
,
.
Тогда
,
,
.
Раскладывая в бином Ньютона и
группируя члены, можно представить его в виде
,
где – полином степени
, четные члены которого равны нулю, если
нечетно, нечетные
члены равны нулю, если
четно;
– полином степени
, четные члены которого равны нулю, если
четно, нечетные члены
равны нулю, если
нечетно. Например:
,
;
,
,
,
,
,
,
,
.
Так как
,
то
,
,
,
.
-й член
-й восходящей диагонали таблицы
, т.е.
-й член вектора
равен -му члену полинома
. Отсюда вытекает, что
совпадает с
-й строкой матрицы
.
Например:
:
;
:
;
:
;
:
.
Обозначим:
.
Так
как
,
то
.
Так
как
,
то
.
Так
как
,
то
,
,
,
,
,
где
,
,
,
,
где множитель равен
, если
четно, и
, если
нечетно (проверяется
подстановкой
,
); если один из сомножителей (в случае
– любой из
сомножителей) множителя
равен нулю, он
заменяется на
, соответствующая ему пара полиномов заменятся на
. Отметим также, что
.
-й член вектора
равен
-му члену полинома
и нулю, если степень
меньше
. Следовательно,
,
где ,
, множитель
равен нулю, если один
из сомножителей равен нулю.
Обозначим:
,
.
Тогда
.
Так
как
,
то
.
Убедимся, что
.
Следовательно,
-я строка верхней половины таблицы
имеет
вид
.
-й член
-й восходящей диагонали таблицы
,
, т.е.
-й член вектора
, равен
-му члену полинома
. Отсюда вытекает, что
совпадает с
-й строкой матрицы
.
Например:
:
;
:
;
:
;
:
;
Обозначим:
.
Так
как
,
то
.
Так
как
,
то
.
Так
как
,
,
,
то
,
,
где
,
,
,
,
где множитель равен
, если
четно, и
, если
нечетно; если один из
сомножителей (в случае
– любой из
сомножителей) множителя
равен нулю, он
заменяется на
, соответствующая ему пара полиномов заменяется на
. Отметим, что
.
-й член вектора
равен
-му члену полинома
и нулю, если степень
меньше
. Следовательно,
где ,
, множитель
равен нулю, если один
из сомножителей равен нулю.
Обозначим:
,
,
.
Тогда
.
Отметим равенства, словно предназначенные
для обеспечения преобразований полиномов данного вида. Подставляя в общие
формулы полиномов ,
значения
,
, получаем:
,
,
где верхнее значение берется при четном , нижнее – при нечетном
. Подставляя в общие формулы полиномов значения
,
, получаем:
,
.
1.
Е. В. Бурлаченко. Алгебраические заметки.